МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА" ЧИСЛОВЕ ІНТЕГРУВАННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ Інструкція до лабораторної роботи № 4 з курсу " Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем" для студентів спеціальності 6.1601 "Інформаційна безпека" Затверджено на засіданні кафедри “Захист інформації” Протокол № __ від ________ p. Львів – 2007 Чисельне інтегрування функцій однієї змінної: Інструкція до лабораторної роботи №4 з курсу "Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем " для студентів спеціальності 6.1601 "Інформаційна безпека" / Укл.: Л.В.Мороз, З.М.Стрілецький, В.М.Іванюк - Львів: НУЛП, 2007.- 15 с. Укладачі: Леонід Васильович Мороз, к.т.н., доц. Зеновій Михайлович Стрілецький, к.т.н., доц. Іванюк Віталій Миколайович, асистент. Відповідальний за випуск: І.Я. Тишик, ст.в. Рецензент: В.Б.Дудикевич, д.т.н., проф. В.В.Хома, д.т.н., проф. Мета роботи – ознайомлення з методами наближеного інтегрування означених інтегралів. Чисельне інтегрування функцій однієї змінної Нехай дана деяка функція
на деякому відрізку
. Розглянемо задачу обчислення її означеного інтеграла
. Якщо для
відома первісна
, то інтеграл обчислюється за формулою Ньютона - Лейбніца
(1) Однак
для великого класу функцій не можна виразити через елементарні функції, тому означений інтеграл вже не можна обчислити за допомогою формули Ньютона - Лейбніца. Крім того, бувають випадки, коли підінтегральна функція задається не аналітично, а таблично. Тоді використовують формули наближеного інтегрування, які називають квадратурними. Сам процес чисельного визначення інтегралу називають квадратурою, а відповідні формули - квадратурними. Ідея чисельних методів інтегрування полягає в наступному. Означений інтеграл

Рис. 1 можна трактувати як площу фігури (рис.1), обмеженої ординатами a і b , віссю абсцис
і графіком підінтегральної функції
(криволінійною трапецією). При наближеному обчисленні криволінійну трапецію заміняють фігурою, обмеженою тим самим відрізком
, площа якої обчислюється значно простіше. Найбільш прості формули чисельного інтегрування - формули прямокутників та трапецій.
Рис. 2 Розглянемо метод прямокутників. Відрізок
розбивають на
відрізків
, де i=
. На кожному з відрізків
площа криволінійної трапеції заміняється площею прямокутника з основою
та висотою
. Тоді
(2) Якщо відрізки
рівновеликі :

(3) Формулу (3) називають також формулою «середніх» прямокутників. Якщо за висоту прямокутника взяти
або
, то можна одержати формули «лівих» та, відповідно, «правих» прямокутників. Формула лівих прямокутників :
. Формула правих прямокутників :
. Похибка методу прямокутників ( гранична абсолютна похибка, похибка квадратурної формули (3) ):
(4) де
, x([a;b] .
Рис. 3 Вираз (4) для похибки показує, що формула (3) є точною для будь-якої лінійної функції, оскільки друга похідна такої функції дорівнює нулю, а отже похибка теж дорівнює нулю.

Рис. 4 Метод трапецій Розіб’ємо відрізок інтегрування
на n рівних частин, довжиною
. Дуга кривої
заміняється стягуючою її хордою. В точках розбиття проведемо ординати до перетину з кривою
. Кінці ординат з’єднаємо прямолінійними відрізками. Тоді можна замінити кожну з одержаних криволінійних трапецій прямолінійною (рис.4). Площа криволінійної трапеції
можна вважати наближено дорівнює сумі площ прямолінійних трапецій. Площа лівої трапеції
Відповідно для трапеції, розміщеної над ділянкою
знайдемо:
(5) Звідси

(6) або
(7) Похибка методу Гранична абсолютна похибка методу трапецій знаходиться за формулою (8):
(8)
,
,
. Співставляючи формули (8) та (4) бачимо, що похибка формули середніх прямокутників ( в 2 рази менша, ніж похибка формули трапецій. Метод Сімпсона Цей метод значно точніший у порівнянні з методами прямокутників або трапецій.. Для досягнення тої ж точності в ньому можна брати менше число n ділянок розбиття та відповідно більший крок h, а при одному й тому ж кроці h...